$ \mathbf{R}$ et $ \mathbf{P}$ sont hermitiques

Pour montrer par exemple que $ X$ est un opérateur hermitique, il suffit d'utiliser la formule (2.280) :

$\displaystyle \ensuremath{\langle \varphi\vert X\vert\psi\rangle}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int d^3r \varphi^*(\ensuremath{\mathbf{r}})x\ensuremath{\psi(\ensuremath{\mathbf{r}})}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left[\int d^3r \psi^*(\ensuremath{\mathbf{r}})x\varphi(\ensuremath{\mathbf{r}})\right]^*$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \ensuremath{\langle \psi\vert X\vert\varphi\rangle}^*$ (2.285)

L'égalité précédente est caractéristique d'un opérateur hermitique.

Des démonstrations semblables prouvent que $ Y$ et $ Z$ sont aussi hermitiques. Pour $ P_x, P_y$ et $ P_z$ , on peut utiliser la représentation { $ \vert\ensuremath{\mathbf{p}}\rangle$ }, et les calculs sont alors analogues aux précédents.

Exercice :

A partir de l'équation (2.285), démontrez que $ P$ est hermitique.

Démonstration :

Reprenons par exemple la formule (2.286) et intégrons par parties :

$\displaystyle \ensuremath{\langle \varphi\vert P_x\vert\psi\rangle}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\hbar}{i}\int \ensuremath{\mathrm{d}}y\,\ensuremath{\mathrm...
...uremath{\frac{\partial }{\partial x}}\ensuremath{\psi(\ensuremath{\mathbf{r}})}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\hbar}{i}\int \ensuremath{\mathrm{d}}y\,\ensuremath{\mathrm...
...uremath{\frac{\partial }{\partial x}}\varphi^*(\ensuremath{\mathbf{r}})\right\}$ (2.286)

L'intégrale qui donne le produit scalaire $ \langle \varphi\vert \psi\rangle$ étant convergente, $ \varphi^*(\ensuremath{\mathbf{r}})\ensuremath{\psi(\ensuremath{\mathbf{r}})}$ tend vers zéro quand $ x\to\pm\infty$ ; le terme intégré est donc nul, et :
$\displaystyle \ensuremath{\langle \varphi\vert P_x\vert\psi\rangle}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{\hbar}{i}\int d^3r\ensuremath{\psi(\ensuremath{\mathbf{r}})}\ensuremath{\frac{\partial }{\partial x}}\varphi^*(\ensuremath{\mathbf{r}})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left[\int d^3 r \psi^*(\ensuremath{\mathbf{r}})\frac{\hbar}{i}\e...
...c{\partial }{\partial x}}\ensuremath{\varphi(\ensuremath{\mathbf{r}})}\right]^*$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \ensuremath{\langle \psi\vert P_x\vert\varphi\rangle}^*$ (2.287)

On voit que la présence du nombre imaginaire $ i$ est essentielle : l'opérateur différentiel $ \displaystyle \ensuremath{\frac{\partial }{\partial x}}$ , agissant sur les fonctions de $ \mathcal{F}$ , n'est pas hermitique, à cause du changement de signe qu'introduit l'intégration par parties; par contre, $ \displaystyle i\ensuremath{\frac{\partial }{\partial x}}$ l'est, comme $ \displaystyle \frac{\hbar}{i}\ensuremath{\frac{\partial }{\partial x}}$ .

Ha Thuy Long 2007-04-17