A tout bra correspond-il un ket?

Si à tout ket correspond un bra, nous allons voir sur deux exemples choisi dans $\mathcal{F}$ , qu'on peut trouver des bras auxquels ne correspondent pas de kets. Nous montrerons ensuite pourquoi cette difficulté n'est pas gênante en mécanique quantique.

(viii)

Contre-exemples choisis dans $\mathcal{F}$

Nous raisonnerons pour simplier à une dimension.

Soit $\xi_{x_0}^{(\varepsilon)}(x)$ une fonction réelle suffisamment régulière, telle que $$\int_{-\infty}^{+\infty}\ensuremath{\ensuremath{\mathrm{d}}x}\ensuremath{\xi_{x_0}^{(\varepsilon)}(x)}=1$$ et ayant la forme d'un pic de largeur $\varepsilon$ , de hauteur $1/varepsilon$ , centré en $x=x_0$ [voir la fig. 1]. Si $\varepsilon\ne0$ , $\ensuremath{\xi_{x_0}^{(\varepsilon)}(x)}\in\ensuremath{\mathcal{F}}_x$ (le carré de sa norme est de l'ordre de $1/varepsilon$ ); désignons par $\vert\xi_{x_0}^{(\varepsilon)}\rangle$ le ket correspondant :

$$\xi_{x_0}^{(\varepsilon)}\Longleftrightarrow\ensuremath{\vert\xi_{x_0}^{(\varepsilon)}\rangle}$$ (2.81)

Si $\varepsilon\ne0$ , $\ensuremath{\vert\xi_{x_0}^{(\varepsilon)}\rangle}\in\ensuremath{\ensuremath{\ensuremath{\mathcal{E}}}_{x}}$ . soit $\langle \xi_{x_0}^{(\varepsilon)}\vert$ le bra associé à ce ket; pour tout $\ensuremath{\vert\psi\rangle}\in\ensuremath{\ensuremath{\ensuremath{\mathcal{E}}}_{x}}$ , on a :

$$\ensuremath{\langle \xi_{x_0}^{(\varepsilon)}\vert \psi\rangle}=\... ...math{\mathrm{d}}x}\ensuremath{\xi_{x_0}^{(\varepsilon)}(x)}\ensuremath{\psi(x)}$$ (2.82)

Faisons maintenant tendre $\varepsilon$ vers zéro. D'une part :

$$\lim_{\varepsilon\to0}\ensuremath{\xi_{x_0}^{(\varepsilon)}(x)}=\... ...cal{F}}_x\index{Delta (fonction de Dirac)!utilisation en m\'ecanique quantique}$$ (2.83)

[le carré de la norme de $\xi_{x_0}^{(\varepsilon)}(x)$ , qui est de l'ordre de $1/varepsilon$ , diverge quand $\varepsilon\longrightarrow$ ]; donc :

$$\lim_{\varepsilon\to0}\ensuremath{\vert\xi_{x_0}^{\varepsilon}\rangle}\not\in\ensuremath{\ensuremath{\ensuremath{\mathcal{E}}}_{x}}$$ (2.84)

D'autre part, l'intégrale (2.87) tend, lorsque $\varepsilon\longrightarrow$ , vers une limite parfaitement définie $\psi(x_0)$ [puisque, pour $\varepsilon$ suffisamment petit, on peut remplacer dans (2.87) $\psi(x)$ par $\psi(x_0)$ et le sortir de l'intégrale]. Par suite, $\langle \xi_{x_0}^{(\varepsilon)}\vert$ tend vers un bra que nous noterons $\langle \xi_{x_0}\vert$  : $\langle \xi_{x_0}\vert$ est la fonctionnelle linéaire qui fait correspondre, à tout ket $\vert\psi\rangle$ de $\ensuremath{\ensuremath{\mathcal{E}}}_{x}$ , la valeur $\psi(x_0)$ prise au point $x_0$ par la fonction d'onde associée :

$$\lim_{\varepsilon\to0}\ensuremath{\langle \xi_{x_0}^{\varepsilon}\vert}=\ensuremath{\langle \xi_{x_0}\vert}\in\ensuremath{\mathcal{E}}_x^*$$ (2.85)

$$\; \ensuremath{\vert\psi\rangle}\in\ensuremath{\ensuremath{\ensur... ...h{\mathcal{E}}}_{x}}, \ensuremath{\langle \xi_{x_0}\vert \psi\rangle}=\psi(x_0)$$ (2.86)

On voit donc que le bra $\langle \xi_{x_0}\vert$ existe, mais qu'il ne lui correspond pas de ket.

Considérons de même une onde plane tronquée en dehors d'un intervalle de largeur $L$  :

$$v_{p_0}^{(L)}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ip_0x/\hbar}\; \;-\ensuremath{\frac{L}{2}}\le x\le +\ensuremath{\frac{L}{2}}$$ (2.87)

la fonction $v_{p_0}^{(L)}(x)$ s'annulant rapidement (tout en restant continue et dérivable) à l'extérieur de cet intervalle. Nous noterons $\vert v_{p_0}^{(L)}\rangle$ le ket associé à $v_{p_0}^{(L)}(x)$  :

$$v_{p_0}^{(L)}(x)\in\ensuremath{\mathcal{F}}_x\Longleftrightarrow\... ... v_{p_0}^{(L)}\rangle}\in\ensuremath{\ensuremath{\ensuremath{\mathcal{E}}}_{x}}$$ (2.88)

Le carré de la norme de $v_{p_0}^{(L)}$ , qui vaut pratiquement $L/2\pi\hbar$ , diverge si $L\longrightarrow\infty$ . Donc :

$$\lim_{L\to\infty}\ensuremath{\vert v_{p_0}^{(L)}\rangle}\not\in\ensuremath{\ensuremath{\ensuremath{\mathcal{E}}}_{x}}$$ (2.89)

Étudions maintenant le bra $\langle v_{p_0}^{(L)}\vert$ associé à $\vert v_{p_0}^{(L)}\rangle$ . Pour tout $\ensuremath{\vert\psi\rangle}\in\ensuremath{\ensuremath{\ensuremath{\mathcal{E}}}_{x}}$ , on a :

$$\ensuremath{\langle v_{p_0}^{(L)}\vert \psi\rangle}=\ensuremath{(... ...L/2}\ensuremath{\ensuremath{\mathrm{d}}x}\;e^{-ip_0x/\hbar}\ensuremath{\psi(x)}$$ (2.90)

Quand $L\longrightarrow\infty$ , $\langle v_{p_0}^{(L)}\vert \psi\rangle$ a une limite : la valeur $\ensuremath{\overline{\psi}}(p_0)$ de la transformée de Fourier $\ensuremath{\overline{\psi}}(p)$ de $\psi(x)$ pour $p=p_0$ . Donc $\langle v_{p_0}^{(L)}\vert$ tend, lorsque $L\longrightarrow\infty$ , vers un bra parfaitement défini $\langle v_{p_0}\vert$  :

$$\lim_{L\to\infty}\ensuremath{\langle v_{p_0}^{(L)}\vert}=\ensuremath{\langle v_{p_0}\vert}\in\ensuremath{\mathcal{E}}_x^*$$ (2.91)

$$\; \ensuremath{\vert\psi\rangle}\in\ensuremath{\ensuremath{\ensur... ...\ensuremath{\langle v_{p_0}\vert \psi\rangle}=\ensuremath{\overline{\psi}}(p_0)$$ (2.92)

Ici encore, aucun ket ne correspond au bra $\langle v_{p_0}\vert$ .

(ix)

Solution physique aux difficulté précédentes

Cette dissymétrie de la correspondance entre kets et bra est liée, comme le montrent les exemples précédents, à l'existence de «bases continues » pour $\ensuremath{\mathcal{F}}_x$  : les fonctions constituant ces «bases» n'appartiennent pas à $\ensuremath{\mathcal{F}}_x$ , et on ne peut donc pas leur associer un ket de $\ensuremath{\ensuremath{\mathcal{E}}}_{x}$ ; pourtant, leur produit scalaire avec une fonction quelconque de $\ensuremath{\mathcal{F}}_x$ est défini, ce qui permet de leur associer une fonctionnelle linéaire dans $\ensuremath{\ensuremath{\mathcal{E}}}_{x}$ , c'est-à-dire un bra appartenant à $\ensuremath{\mathcal{E}}_x^*$ . La raison pour laquelle on utilise de telles «bases continues» tient à leur commodité pour certains calculs pratiques. La même raison (elle apparaîtra plus clairement dans la suite) amène ici à rétablir la symétrie entre kets et bras en introduisant des «ket généralisés », définis à partir de fonctions qui ne sont pas de carré sommable, mais dont le produit scalaire avec toute fonction de $\mathcal{F}$ existe : nous travaillerons donc dans la suite avec des «kets» tels que $\vert\xi_{x_0}\rangle$ ou $\vert v_{p_0}\rangle$ , associés à $\xi_{x_0}(x)$ ou $v_{p_0}(x)$ . Il ne faut pas oublier que ces «kets» généralisés ne peuvent pas, à strictement parler, représenter des états physique; ce sont seulement des intermédiaires de calcul commodes pour certaines opérations que l'on aura à effectuer sur les véritables kets de l'espace $\ensuremath{\ensuremath{\mathcal{E}}}_{x}$ qui, eux, caractérisent des états quantiques effectivement réalisables.

Cette façon de procéder pose un certain nombre de problème mathématiques que l'on peut éluder en adoptant le point de vue physique suivante : $\vert\xi_{x_0}\rangle$ (ou $\vert v_{p_0}\rangle$ ) désigne en fait $\vert\xi_{x_0}^{(\varepsilon)}\rangle$ (ou $\vert v_{p_0}^{(L)}\rangle$ ) où $\varepsilon$ est une longueur très petite (ou $L$ une longueur très grande) devant toutes celles qui interviennent dans le problème étudié; dans tous les calculs intermédiaires où apparaissent $\vert\xi_{x_0}^{(\varepsilon)}\rangle$ (ou $\vert v_{p_0}^{(L)}\rangle$ ), on ne passe jamais à la limite $\varepsilon=0$ (ou $L\longrightarrow\infty$ ), de sorte qu'on travaille toujours dans $\ensuremath{\ensuremath{\mathcal{E}}}_{x}$ . Le résultat physique obtenu à la fin du calcul sera très peu sensible à la valeur de $\varepsilon$ , pourvu que celle-ci soit suffisamment petit par rapport à toutes les autres longueurs : on pourra alors négliger $\varepsilon$ , c'est-à-dire poser $\varepsilon=0$ dans le résultat (la procédure est analogue pour $L$ ).

On pourrait alors objecter que, contrairement à $\{\ensuremath{\xi_{x_0}(x)}\}$ et $\{v_{p_0}(x)\}$ , $\{\ensuremath{\xi_{x_0}^{(\varepsilon)}(x)}\}$ et $\{v_{p_0}^{(L)}(x)\}$ ne sont pas vraiment des bases dans $\ensuremath{\mathcal{F}}_x$ , dans la mesure où elles ne satisfont pas rigoureusement à la relation de fermeture. En fait, elles y obéissent de façon approchée. En effet, on voit par exemple que l'expression $$\int\ensuremath{\mathrm{d}}x_0\ensuremath{\xi_{x_0}^{(\varepsilon)}(x)}\xi_{x_0}^{(\varepsilon)}(x')$$ est une fonction de $(x-x')$ qui peut constituer une excellent approximation de $\delta(x-x')$  : sa représentation graphique est pratiquement un triangle de base $2\varepsilon$ , de hauteur $$\frac{1}{\varepsilon}$$ , centré en $x-x'=0$ ; si $\varepsilon$ est négligeable devant toutes les longueurs du problème, la différence avec $\delta(x-x')$ sera inappréciable physiquement.

De façon générale, le dual $\ensuremath{\ensuremath{\mathcal{E}}}^*$ de l'espace des états $\ensuremath{\mathcal{E}}$ ne lui pas isomorphe, sauf bien sûr si $\ensuremath{\mathcal{E}}$ est de dimension finie^2.5 : si à tout ket $\vert\psi\rangle$ de $\ensuremath{\mathcal{E}}$ correspond un bra $\langle \psi\vert$ dans $\ensuremath{\ensuremath{\mathcal{E}}}^*$ , la réciproque n'est pas vraie. Toutefois, nous conviendrons d'utiliser, en plus des vecteurs appartenant à $\ensuremath{\mathcal{E}}$ (dont la norme est finie), des kets généralisés de norme infinie mais dont le produit scalaire avec tout ket de $\ensuremath{\mathcal{E}}$ est fini. Ainsi, à chaque bra $\langle \varphi\vert$ de $\ensuremath{\ensuremath{\mathcal{E}}}^*$ correspondra un ket. Mais les kets généralisés ne représentent pas des états physiques du système.