Opérateurs hermitiques

Un opérateur $ A$ est dit hermitique s'il coïncide avec son adjoint, c'est-à-dire si :

$\displaystyle A=\ensuremath{{A}^\dag }$ (2.130)

En portant (2.134) dans (2.123), on voit qu'un opérateur hermitique satisfait à la relation :

$\displaystyle \ensuremath{\langle \psi\vert A\vert\varphi\rangle}=\ensuremath{\langle \varphi\vert A\vert\psi\rangle}^*$ (2.131)

valable quels que soient $ \vert\varphi\rangle$ et $ \vert\psi\rangle$ .

Nous verrons que les opérateurs hermitiques jouent un rôle fondamental en mécanique quantique.

Si l'on applique la formule (2.131) au cas où $ \ensuremath{\vert u\rangle}=\ensuremath{\vert v\rangle}=\ensuremath{\vert\psi\rangle}$ , on voit que le projecteur $ \ensuremath{P_{\psi}}=\ensuremath{\vert\psi\rangle}\ensuremath{\langle \psi\vert}$ est hermitique :

$\displaystyle \ensuremath{{\ensuremath{P_{\psi}}}^\dag }=\ensuremath{\vert\psi\rangle}\ensuremath{\langle \psi\vert}=\ensuremath{P_{}}$ (2.132)

Remarque :

Le produit de deux opérateurs hermitiques $ A$ et $ B$ n'est hermitiques que si $ \ensuremath{[A,B]}=0$ . En effet, si $ A=\ensuremath{{A}^\dag }$ et $ B=\ensuremath{{B}^\dag }$ , on déduit de (2.128) que $ \ensuremath{{(AB)}^\dag }=\ensuremath{{B}^\dag }\ensuremath{{A}^\dag }=BA$ , qui n'est égal à $ AB$ que si $ \ensuremath{[A,B]}=0$

Ha Thuy Long 2007-04-17