Propriétés des valeurs et vecteurs propres d'un opérateur hermitique

Nous considérons ici le cas, très important en mécanique quantique, où l'opérateur $ A$ est hermitique :

$\displaystyle \ensuremath{{A}^\dag }=A$ (2.209)

(xii)
Les valeurs propres d'un opérateur hermitique sont réelles

En multipliant scalairement par $ \vert\psi\rangle$ l'équation aux valeurs propres (2.191), on obtient :

$\displaystyle \ensuremath{\langle \psi\vert A\vert\psi\rangle}=\lambda\ensuremath{\langle \psi\vert \psi\rangle}$ (2.210)

Mais $ \langle \psi\vert A\vert\psi\rangle$ est un nombre réel si $ A$ est hermitique ; en effet :

$\displaystyle \ensuremath{\langle \psi\vert A\vert\psi\rangle}^*=\ensuremath{\l...
...th{{A}^\dag }\vert\psi\rangle}=\ensuremath{\langle \psi\vert A\vert\psi\rangle}$ (2.211)

où la dernière égalité est due à l'hypothèse (2.213). $ \langle \psi\vert A\vert\psi\rangle$ et $ \langle \psi\vert \psi\rangle$ étant réels, l'équation (2.214) implique que $ \lambda$ doit l'être également.

Si $ A$ est hermitique on peut, dans (2.199), remplacer $ A$ par $ {A}^\dag$ et $ \lambda$ par $ \lambda^*$ , puisque nous venons de montrer que $ \lambda$ est réel. On obtient ainsi :

$\displaystyle \ensuremath{\langle \psi\vert}A = \lambda\ensuremath{\langle \psi\vert}$ (2.212)

ce qui montre que $ \langle \psi\vert$ est aussi bra propre de $ A$ avec la valeur propre réelle $ \lambda$ . Donc, quel que soit le ket $ \vert\varphi\rangle$  :

$\displaystyle \ensuremath{\langle \psi\vert A\vert\varphi\rangle}=\lambda\ensuremath{\langle \psi\vert \varphi\rangle}$ (2.213)

On dit que, dans (2.217), on a fait agir l'opérateur hermitique $ A$ à gauche.

(xiii)
Deux vecteurs propres d'un opérateur hermitique correspondant à deux valeurs propres différentes sont orthogonaux

Considérons deux vecteurs propres $ \vert\psi\rangle$ et $ \vert\varphi\rangle$ de l'opérateur hermitique $ A$  : 2.02.0 \usebox{\sboxeqn} -0

$\displaystyle A\ensuremath{\vert\psi\rangle}=\lambda\ensuremath{\vert\psi\rangle}$ (2.1)

$\displaystyle A\ensuremath{\vert\varphi\rangle}=\mu\ensuremath{\vert\varphi\rangle}$ (2.2)

2.214 Comme $ A$ est hermitique, on peut écrire (-b) sous la forme :

$\displaystyle \ensuremath{\langle \varphi\vert}A=\mu\ensuremath{\langle \varphi\vert}$ (2.215)

Multiplions alors (-a) par $ \langle \varphi\vert$ à gauche et (2.219) par $ \vert\psi\rangle$ à droite :

$\textstyle \parbox{4cm}{\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}}$

2.02.0 \usebox{\sboxeqn} -0

$\displaystyle \ensuremath{\langle \varphi\vert A\vert\psi\rangle}=\lambda\ensuremath{\langle \varphi\vert \psi\rangle}$ (2.1)

$\displaystyle \ensuremath{\langle \varphi\vert A\vert\psi\rangle}=\mu\ensuremath{\langle \varphi\vert \psi\rangle}$ (2.2)

2.215 En retranchant membre à membre les équations (2.220), on trouve :

$\displaystyle (\lambda-\mu)\ensuremath{\langle \varphi\vert \psi\rangle}=0$ (2.216)

Par conséquent, si $ (\lambda-\mu)\ne0$ , $ \vert\varphi\rangle$ et $ \vert\psi\rangle$ sont orthogonaux.

Ha Thuy Long 2007-04-17